mercoledì 10 luglio 2019

Come calcolare il fattore di proiezione medio su un emisfero

Scritto da Joseph E Postma

C'è stata una discussione in corso nei commenti sui post precedenti su questo problema, ed è anche un problema spesso discusso nei circoli del dibattito sul clima a causa della sua importanza nella comprensione di come la radiazione solare raggiunge la superficie terrestre.



Il problema in questione è come si calcola il fattore di proiezione medio della radiazione solare incidente sull'emisfero della Terra su cui cade la luce del sole. Per iniziare potrebbe essere utile guardare lo schema della sezione trasversale della luce solare che viene intercettata dalla Terra:




Il diagramma qui sopra usa semplicemente un fattore di 0,5, che è quello che ottieni quando prendi una media lineare diretta diffondendo il disco di intercettazione uniformemente sull'emisfero e, naturalmente, un emisfero dello stesso raggio ha il doppio dell'area di un disco, da qui il fattore 1/2 = 0,5.

Tuttavia, il flusso in una data posizione sull'emisfero è in realtà una funzione del coseno dell'angolo zenitale solare (con zero gradi verso il sole e 90 gradi verso il terminatore su qualsiasi azimut), e c'è più area di superficie a più ampi angoli di zenith. Ora, la funzione del coseno spende lo sweep più angolare tra zero e novanta gradi sopra lo 0,5, mentre, c'è una superficie crescente al di sopra dell'angolo dove la funzione coseno è uguale a 0.5. Quindi possiamo usare il calcolo solo per vedere come queste influenze si bilanciano. Cioè, per ottenere la proiezione media, dobbiamo ponderare la proiezione con l'area della superficie su cui cade un particolare valore di proiezione. Quindi dobbiamo fare una media integrata ponderata. Possiamo sfruttare la simmetria esistente in questa situazione per rendere l'integrale più visivo.

Prima di tutto, considera che per ogni angolo zenitale dato il fattore di proiezione è lo stesso, e quindi, ci saranno bande sull'emisfero centrate sull'asse zenitale che hanno lo stesso fattore di proiezione. Si consideri che ogni dato anello infinitesimale sul disco di sezione trasversale in ingresso ha un fattore di proiezione costante e cade su una sezione circolare dell'emisfero:





Ogni banda di larghezza dr cade su una superficie di un emisfero e ci piacerebbe sapere quanta area di superficie su un emisfero che ogni dr occupa mentre il dr va a zero. Per questo, sfruttiamo il Teorema Hat-Box di Archimede:
-Per due piani paralleli che tagliano una fascia su una sfera, l'area della superficie della banda sulla sfera è la stessa di un'altra banda su un cilindro che racchiude la sfera che è perpendicolare e tagliata dai piani.

     ~ O ~
-Per due piani paralleli con distanza h tra loro che tagliano una fascia su una sfera, l'area della superficie della banda sulla sfera è la stessa della superficie di una banda cilindrica di altezza h con raggio identico a quello della sfera.





Di seguito viene mostrato un diagramma con tutti i fattori necessari di cui abbiamo bisogno:


Quindi quello che dobbiamo fare è integrare il fattore di proiezione moltiplicato per il peso per ciascun fattore di proiezione "P" e dividere per l'integrale dei pesi. I pesi per ciascun fattore di proiezione sono naturalmente le aree dA su cui cadono.

<P> = ∫P (φ) · dA (φ) dφ / ∫dA (φ) dφ

Dovremmo sapere quale sia l'integrale di tutti gli elementi di banda-area dA (il denominatore sopra), dato che tutti formano un emisfero, ma possiamo scriverlo poiché la funzione è necessaria nella parte superiore dell'equazione moltiplicata per P (φ). Certamente, P (φ) = cos (φ) dove phi è l'angolo zenitale.

L'area superficiale di ciascun anello di banda infinitesimale sferica, dA, tramite il Teorema di Hat-Box di Archimede è

dA = 2πR · dh.

Vogliamo dA come una funzione di phi e quindi dh come una funzione di phi, dove dh è semplicemente la differenza di altezza lungo l'asse zenitale tra h (φ) e h (φ + dφ), vale a dire.

dh (φ) = h (φ) - h (φ + dφ)

dove h (φ) = R · cos (φ). Usando la definizione di un derivato, quindi

dh (φ) = -R · sin (φ) dφ.

Questo ha senso perché dh è negativo (h diventa più piccolo) quando aumenta phi, e cambia solo molto lentamente all'inizio, che è quello che ti dà il peccato. Tuttavia, abbiamo solo bisogno del valore assoluto di dh poiché calcoliamo l'area sul cilindro, che è positiva. Quindi

dA (φ) = 2πR² · sin (φ) dφ

così

A = ∫dA (φ) dφ = 2πR² · ∫sin (φ) dφ dove 0 <= φ <= π / 2.

A = -2πR² · [cos (φ)] @ φ = π / 2 - @ φ = 0

A = -2πR² · [0 - 1] = 2πR²

Ovviamente sapevamo che cosa avrebbe dovuto essere quell'area, ma avevamo bisogno della forma differenziale da utilizzare nell'integrazione ponderata. così

<P (φ)> = ∫P (φ) · dA (φ) dφ / 2πR²

= ∫cos (φ) · (2πR²) · sin (φ) dφ / 2πR²

= ∫cos (φ) sin (φ) dφ

= (1/2) · [sin² (φ)] @ φ = π / 2 - @ φ = 0

= (1/2) · [1 - 0] = 1/2.

E così risulta che il fattore di proiezione medio ponderato integrato su un emisfero è lo stesso della media lineare semplice, anche se la funzione di proiezione ponderata non è lineare.

Ora, il motivo per cui siamo interessati al fattore di proiezione medio integrato è perché possiamo quindi moltiplicarlo per il flusso solare top-of-atmosphere al fine di ottenere il flusso medio integrato sull'emisfero di input. Quindi questo ci dà 1370 W / m² divisi per 2, come abbiamo nella figura in alto, e possiamo convertirlo in una temperatura forzante equivalente, come mostrato anche lì.

Tuttavia, la relazione tra flusso e temperatura non è lineare ma ha una dipendenza esponenziale di quarta potenza tra di loro, e quindi il flusso medio integrato convertito in temperatura non sarà in realtà lo stesso del flusso medio integrato quando il flusso viene prima convertito in una temperatura equivalente. Il flusso medio integrato è certamente utile e interessante, ma probabilmente siamo ancora più interessati al flusso medio integrato convertito in forza di temperatura. E quindi per calcolare questo seguiamo la stessa procedura di cui sopra, ma questa volta per prima cosa convertiamo il flusso "F" ad ogni banda di un anello simmetrico ad una temperatura tramite la Legge di Stefan-Boltzmann (T = (F / 5.67e-8) 1 / 4) e moltiplica quel valore con la ponderazione (come area) su cui cade.

<T> = ∫T (φ) · dA (φ) dφ / ∫dA (φ) dφ

= ∫ (F (φ) /5,67e-8) 1/4 · 2πR² · sin (φ) dφ / 2πR²

= ∫sin (φ) · (1370 · cos (φ) /5,67e-8) 1 / 4dφ

= (1370 / 5.67e-8) 1/4 · ∫sin (φ) · cos (φ) 1 / 4dφ

= (1370 / 5.67e-8) 1/4 · (-4/5) · [cos (φ) 5/4] @ φ = π / 2 - @ φ = 0

= (-4/5) · (1370 / 5.67e-8) 1/4 · [0 - 1]

= (4/5) · (1370 / 5.67e-8) 1/4

= (4/5) · 394K = 315.2 ° K = 42.2 ° C.

Se vogliamo il valore con l'assorbenza media di 0.7 inclusa, allora dobbiamo mettere il fattore di 0.7 in con il flusso per ottenere

(4/5) · (0,7 * 1370 / 5.67e-8) 1/4

= 288,5 ° K = 15,5 ° C.

Questo non è ancora così significativo di un numero, perché la Terra rotante spende un po 'di sweep angolare sotto l'input molto più vicino all'unità con il flusso top-of-atmosphere, ed è questo flusso ad alta potenza che crea nubi cumulonembo e il clima, ecc.

Il punto principale, ovviamente, è che è al 100% irrazionale, illogico e incredibilmente stupido mediare il flusso solare in entrata in modo uniforme sulla superficie su cui non esiste mai, cioè l'intera area della Terra in una volta, letteralmente come se la Terra è un piano piano, ecc.



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